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奇妙的进位

奇妙的进位:世界上所有的发明和创造,归根结底都是为了应用。数学也是一样,抽 象的逻辑关系往往是由具体的事物和矛盾而发生出来的。数字运算中不可缺 少的进位制就是一个例子。

上古时候,人们为了数出物体的个数,便产生了自然数的概念。但是, 如何读出和说出这些数呢?由于自然数有无限多个,如果每一个都用一个独 立的名称和记号来表示,这显然是不可能的。有人对莎士比亚著作中的单词 作过统计,共有 1 万 7 千个不同的词,即使一个英文程度很好的人,在阅读 这些著作时,也非有一本专门辞典不行。文字是如此的复杂,数字要是没有 一种简化的方法去表示,也像文字这样复杂,那在表达数量关系时所出现的 困难,是很难设想的。实践的需要促使进位制的产生。

早在有文化的初期,多数民族由于实际生活的需要,都或多或少地创造 出一定的进位制;但是,用专门数码来表示数的书写方法,却产生得很晚, 甚至像古代希腊、罗马这样有高度文化的民族,用数码来表示数的书写方法 也是极不完整的。直到纪元初年,人们才初步应用数码,并按一定的进位制 来表示数。

国际上通用的是十进制读数与记数方法,即较低位上的十个单位组成较高位上的一个单位。在我国,很早就运用了这种进位制。如周代《易经》中 表示数量时曾有“万有一千五百二十”的记载,说明早在 2 千多年前,我国 就有了十进位制。后来,甄鸾在他的《数术记遗》(成书于公元 6 世纪)中 还有下面一段话:“黄帝为法,数有十等,乃其用也,乃有之焉。十等者: 亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载。三等者,谓上中下也。其下数 者,十十变之,若言十万曰亿,十亿曰兆,十兆曰京也。中数者,万万变之, 若言万万曰亿,万万亿曰兆,万万兆曰京也。上数者,数穷则变,若言万万 曰亿,亿亿曰兆,铛兆曰京也。”从这段话我们可以看出,当时虽采用了十 进制,但缺乏统一的规定,主要原因是那时的生产力不发达,人们在实际生 活中还不迫切需要用很大的数记载。

据调查,美国原始亚美利加各族的 307 种计数系统中,有 146 种是十进位的,106 种是五进位和二十进位的。可见,十进位制在历史上为人们所普 遍采用。人类为什么喜欢十进位呢?根据语言学家对世界各进化民族和多数 原始民族语言的研究,这是由于人类的手有十个手指,可以自由伸展。是一 个很好的天然计数工具,因而不谋而合地都采用了十进位制。在英文中, “dight”这个单词既可以当“手指”讲,又可以理解为“数字”,这与人们 长期用手指表示数字,是有必然联系的。另外,十进位制比较简单,这也是 它传播最广的一个重要原因。

当然,除了十进位制外,还有其它进位制。实际上除了 0 和 1 以外,任 何自然数都可以用来作为进位制的基础数。例如:二进位制,三进位制、五 进位制等等。像北美的印第安人,中南美的少数民族、西伯利亚的北部民族 及非洲人等,常用五进位制和二十进位制。1937 年在罗马尼亚境内发现旧石 器时代的一根幼狼的挠骨,长七英时,上面有五十五个刻痕,前面二十五个 是五个一组地排列着,随后一个刻痕是原长的两倍,作为这一列的结束。这 是五进位制应用的一个证明。巴比伦人最初使用六十进位制,直到现在我们 还在使用这种进位制,如一小时等于六十分钟,一分钟等于六十秒,圆周等于三百六十度,一度等于六十分等。在今天还在应用的进位制还有十二进位 制,如一年有十二个月,一天是二十四小时(钟表面上仍只用十二)等,从 英文数字的构词形式上也能看出十二进位制的痕迹。学过英语的人都知道, 英文中从 1 到 12,这十二个数字是独立的,13 以后才有一个统一的构成法。 科学技术发展到今天,很多问题的解决都需要进行大量的计算。在许多 情况下计算速度要求很高,必须使用自动控制。有些数学问题计算工作量很 大,如建筑巨型水力发电站的拦河坝工程,就需要进行极为繁杂的计算。这 里遇到的联合方程已经不是两三个未知数,而是十几个、几十个乃至上百个 未知数,其计算的艰难复杂程度可想而知。堤坝设计不仅是整个工程的关键, 而且直接关系到千百万人的生命安全,要求计算准确,迅速,这些都促进了 计算机技术的不断发展。为了适应这样的需要,人们发明了二进位制,用 0和1两个符号,就可以把一切自然数表现出来。如 自然数一,二,三,四,五,六,七,八,九,十,?? 十进制 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,二进制 1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,?? 为了区别不同的进位制,我们常用括号加注的方法。如,在十进位制里,数 101 表为(101)10;在二进位制里,数 101 表为(101)2。

由于二进位制只有两个数字(0,1 ),人们就把电路的“开”、“关” 分别表示 0 和 1 这两个数码,进行复杂的运算,这就是电子计算机的简单原理。随着科学技术的发展,奇妙的进位必将得到更加深入的研究和广泛的使用。(谭英)

本文标题:奇妙的进位

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发布:小学数学资优网

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