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奇妙的三兄弟

奇妙的三兄弟:自古以来,在我国各地,就流传着多种多样的智力游戏。其中,有的流传至今,深受欢迎。最近,见国外介绍一种叫做“拣石子”的游戏,明确指出是从中国学来的,有的学者还就此写了论文。可惜它究竟起源于我国什么朝代,流传情况 如何,已经无从查考了。

这个游戏的玩法非常简单,只要在地上拣些小石头或者小树杈,分成两堆,每堆的个数可以是任意的,只要不相等就行。玩的规则如下:
一,两人轮流拿石子,每次可以从一堆石子中,任意取一颗或者几颗, 直到把一整堆石子全部取走。也可以从两堆中,任意取走相等数量的石子。
二,每次轮到谁拿,他至少得拿一颗石子,不允许弃权,一颗都不拿。
三,谁拿光剩下的石子,就算他赢了。

说也奇怪,这个看起来十分简单的游戏,要想十拿九稳,取得胜利,很不容易。不知道取胜诀窍,马虎大意随便拿,只能一输到底。 诀窍在哪里呢?先请看这张表: 表中第一排数,是表示拿石子的先后顺序的。第二和第三两排数,叫做A 数列和 B 数列,数列中相应的数构成一对。例如第五对是(8,13),第九对是(14,23)。
序数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 数列 1 3 4 6 8 9 11 12 14 16 17 19 B 数列 2 5 7 10 13 15 18 20 23 26 28 31

你想取胜,只要记住:在每次取走石子以后,要是能使留下的石子个数,和表中 A 数列和 B 数列的某一对相符合,就必胜无疑了。所以,你可以把(1 ,2 ),(3 ,5 ),(4 ,7 ),…… 这些数叫做“胜利之数”。 举一个例子。

开始时,两堆石子分别有 7 颗和 11 颗:000000000000000000要是你先拿,就可以在第二堆中取走 7 颗石子,使它成为:0000000000 注意,这对(4,7),是表中的第三对。

以后,不管对手怎样动作,你总是稳操胜券了。要是对手从两堆石子中 各拿掉一颗,使它成为:000000000 这时,你就可以再从第一堆中取走一颗石子,使留下的 石子数,是表中第二对(3,5):00000000 这样一步一步,从表中较大的一对数,逐渐过渡到较小的一对数,就可以保证你拿到最后的一颗石子。

你可能要问:表上一对一对的数那么多,又看不出有什么变化规律,这怎么记得住呢? 是怪别扭的,不好记。可这正是游戏的奥妙所在!说到这里,讲一个“无理数三兄弟”的故事给你听。因为这个故事和拣 石子有密切关系。

在数学里,不循环无限小数叫做无理数。它是一个庞大的家族,成员比 有理数家族多得多。在这个家族里,有三兄弟的模样和脾气特别相像。其中,老大是2 .61803398……;老二是1.61803398……;老三是0.61803398……。他们挨个正好相差1。

在这三兄弟中,老三来头不小,它随同华罗庚教授奔走大江南北,在推广优选法中立下了汗马功劳,这就是有名的 0.618 法。优选法里用 0.618 最 好,这是1953 年一个美国人发现的。为什么 0.618 最好?国外虽有一些证明, 可都是不正确的,华罗庚指出了这一点。随后,我国青年数学家洪加威,在1973 年首先发表了一个严格的证明。

从历史上来看,老三早在古希腊、罗马时代,就已经名扬四海,叫做“黄 金分割数”,和绘画、雕刻、建筑等都结下了不解之缘。三兄弟友爱相处,亲密无比,它们之间的奇特联系,说出来令人大吃一惊。不信,你用笔算一下就知道了。 现在,请你把老二和老三乘一乘:它们的乘积是1。换句话说,老二和老三是互为倒数。在一切实数中,只有唯一的这样一对具有倒数关系的正数,而 它们的差是 1。

老大和老二的关系也很不平常。老大正好是老二的平方,而它们的差是1。在全部实数中,具有这种关系的一对正数,也是独一无二的。 这样,要是你设老二为 x,得老大是 x+1,老三是 x-1,那么,x(x-1)=1,1+x=x2。搞清楚了它们之间的这种关系,要是你把老二记为φ,那老大就是? 2 ,老三就是 1 。
?
说到这里,原来上面拣石子游戏中很难记住的 A 数列,它的通用公式是[nφ],B 数列的通用公式是[nφ2]。注意,这里的 n 表示序数;〔 〕不是中括号,而是表示对正数来说,只取整数,略去小数,比如[2φ]=[3.236]=3,[2φ2]=[5.234]=5。

不仅如此,A 数列和 B 数列中所有的数,正好是全体自然数,既不重复, 也不遗漏!这些性质是惠特霍夫发现的,所以这个游戏,在国外就叫做惠特霍夫游戏。游戏说到这里,你也许会问:有没有简便办法,可以排出这个胜利之数的表格呢?

回答是有。按照下面的办法,你马上就能把这个表排出来: 一,第一对胜利之数当然是(2 ,1 )。对方不论怎么拿,剩下的你都能一把抓尽。二,比 1 ,2 大的数轮到了 3 。3+序数 2=5 ,(3 ,5 )就是第二对 数。下一个轮到 4 ,4+3=7,(4 ,7 )就是。三,以此类推。要是第 1 ,2 ,……,n-1 对数都排好了。那第 n 对 中的 A 数,就是前面没用过的最小自然数。把它加上序数 n ,就得到 B 数。为什么这样拿必胜,说来话长,就不多说了。(张景中)

本文标题:奇妙的三兄弟

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发布:小学数学资优网

12 Responses to “奇妙的三兄弟”

  1. 笑笑 说:

    很好

  2. 手插口袋谁都不爱 说:

    不懂就要装

  3. 长草颜 说:

    啥,不懂不懂不懂,好深嗷嗷嗷嗷嗷

  4. 我要我的世界!!!!!! 说:

    46G

  5. 小美 说:

    云不错

  6. 闪电侠 说:

    不懂啊?

  7. 天容才 说:

    什么跟什么

  8. 可爱公主 说:

    水花托

  9. 资优网 说:

    托马斯

  10. 小米 说:

    我非托也

  11. 小米 说:

    兰花托

  12. 加米 说:

    蓝色拖

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