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111……111是平方数吗

111……111是平方数吗?自然数的平方——1的平方,2的平方,3的平方……叫做平方数。要是一根火柴表示数字1,那么,不管用多少根火柴摆成111……111也不可能是平方数,除非只有一根火柴,可以得1=1的平方。为什么呢?

你已经算过:(2n)的平方=4nn;(2n+1)的平方=4nn+4n+1=4(nn+n)+1。

这就是说,平方数有这样的特点:偶数的平方除以4 余0,奇数的平方除以4 余1。换句话说,要是一个整数除以4,余数不是0 或者不是1,那它就不是平方数。

我们知道,100,1000,10000,……都是4 的倍数。所以,一个正整数除以4 的余数,就是它的末两位数字所组成的数除以4 的余数。这样,111……111 除以4 的余数,就是11 除以4 的余数,也就是3。根据前面所说,111……111 不是平方数。

同样的道理,22,222,2222,……55,555,5555,……66,666,6666,……99,999,9999,……都不是平方数。

平方数除以4 余0 或者1。可是,除以4 余0 或者1 的自然数,不一定是平方数。例如,33 就不是平方数。33,333,3333,……除以4 都余1,其中有没有平方数,用上面的方法是无法判别的。不过,根据乘法,一个自然数的平方的个位数字是:0×0=0,1×1=1,2×2=4,3×3=9,4×4=16,5×5=25,6×6=36,7×7=49,8×8=64,9×9=81。

也就是平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9。所以,33,333,3333,……77,777,7777,……88,888,8888,……都不是平方数。

44,444,4444,……呢?因为平方数与非平方数的积是非平方数,所以,44=4×11,444=4×111,4444=4×1111,……都不是平方数。

一个自然数的个位数字,就是它除以10 的余数。所以,上面所用的方法,就是根据一个自然数除以4 或者除以10 的余数,来证明它不是平方数的。

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发布:小学数学资优网

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