当前位置: 首页 >> 数学知识 >> 文章正文

归纳法之公鸡的智慧

归纳法之公鸡的智慧:一只公鸡,看见主人走过来撒米给它吃,非常高兴。它希望每天都能吃到米。第二天,主人给它吃米,第三天,主人给它吃米,……第九十九天,主人给它吃米。于是,公鸡认为:主人永远给它吃米。第一百天,公鸡看见主人走过来,以为又有米吃了,可是主人把它捉住杀了。

公鸡用归纳法得出每天都有米吃的结论,显然是不完全的。公鸡的智慧有限,无法达到这样的认识。

在数学里,也常用不完全的归纳法来发现规律。不过,前面已经说过,这样得到的结论,都必须给出严格的证明才能成立。

自然数n有关的结论,常常采用数学归纳法来证明。数学归纳法又叫做完全归纳法,在不会混淆的时候,可以简称为归纳法。它分为两个部分:一、首先考虑最简单的情况,通常是证明n=1时结论成立。这一步称为奠基。二、其次考虑能不能从前一步推出下面一步。也就是证明:要是结论在n-1时成立,那么结论在n时也成立。这一步称为归纳。
要是这两部分都完成了,那就可由n=1时结论成立,推出在n=2时结论成立;由n=2时结论成立,又推出n=3时结论成立。这样逐步推下去,可以得出结论对于一切自然数都成立。

数学归纳法的思想在前面已经多次用到过。例如在第三节,我们实际上证明了:按照所说的规则,2n(n≥4)根火柴可以两两合并起来。当时的做法,是先从最简单的情况做起,把八根火柴(n=4)两两合并起来。这就是奠基。

然后,对十四根火柴,我们曾把它归结为十二根火柴的问题;十二根又归结为十根;十根又归结为八根。这样一步步退到八,也就是由八一步步进到十四。同样,也可以进到四十,或者更一般地进到2n。其中的关键,是把左起第四根火柴与第一根火柴合并。这样,2n根火柴的问题,就化为2(n-1)根火柴的问题了。只要2(n-1)根火柴能够两两合并起来,那2n根火柴也就能两两合并起来。这就是第二部分:归纳。

本文标题:归纳法之公鸡的智慧

本文地址:http://www.ziyo.org/archives/1716.html

发布:小学数学资优网

发表评论