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六十四个金环问题

六十四个金环问题:在印度北部贝拿勒拿的圣庙里,安放着一块黄铜板,板上插着三根宝石针,每根针高约六十厘米;据说,印度教的主神梵天在创造世界时,在其中的一根针上,从下到上放下了由大到小的六十四个金环。这就是梵塔。不论白天黑夜,都有一个人在那里按照梵天的规定,把这些环在三根针上移来移去。梵天的规定是一次只能移一个,并且要求不管在哪一根针上,小环永远只能在大环上面。当六十四个环,全都从梵天创造世界时所放的那根针上,移到另外一根针上时,世界就会在一声霹雳中消灭,梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。 

这个有趣的传说,也是一个很好的数学问题。怎样把六十四个环移到另一个环上,这是一件很不容易的事。不信,这里有A、B、C 三个塔,A 塔上只有四个环,你能把它移到B 塔上去吗?

 四个环也不好办。还是从最简单的情况做起吧。要是只有一个环,一下就从A 塔移到B 塔了。要是A 塔上有两个环,那先把小环移到c 塔上;再把大环移到B 塔上;最后把小环移到B 塔上。这就把两个环从A 塔移到B 塔上了。

 好,奠基的工作已经完成了。现在,来考虑第二部分——归纳部分。还记得这一部分应当做什么吗?假设结论对n-1 成立,要证明结论对n 成立。也就是假设n-1 个环可以从一个塔移到另一个塔上,要证明n 个环可以从A 塔移到B 塔上去。对。怎么证明呢?

 和两个环的移法一样。先把n-1 个环从A 塔移到C 塔上;然后把最下的一个移到B 塔上;最后,再把n-1 个环从C 塔移到B 塔上。这就把n 个环都移到B 塔上了。实际上,就是把那n-1 个环当作一个环搬来搬去。道理就是这样。问题是从A 塔移到B 塔,至少要移动多少次?

 一个环移动一次,两个环移动三次,三个环呢?按照刚才的移法,需要3+1+3=7次。因为两个环移到C 上需移三次;一个环移到B 上需移一次;两个环再从C 移到B 上又是三次。看起来,这里的变化规律,可以用二进位制记数法表示:

六十四个金环插图

这是一个非常巨大的数。要是一秒钟移动一次,昼夜不停,也需要58 万亿年。据估计,太阳系已经存在30 亿年,还将存在150 亿年,总起来不足200 亿年。所以,在58 万亿年时,太阳系早就不存在了。

本文标题:六十四个金环问题

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发布:小学数学资优网

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