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波沙的故事

波沙的故事:匈牙利出过不少数学小能人,波沙就是一位。在他九岁的时候,数学家厄尔多斯专程到布达佩斯去看他。厄尔多斯出了一个问题给他做:在1,2,3……2n这2n个自然数中,任意取出n+1个来,那其中一定有两个数互质。也就是它们的最大公约数是1。

波沙正在喝咖啡,他用汤匙在杯子里搅了几下说:这个问题不难。在任取的n+1个数中,一定有两个数是相邻的。两个连续整数的最大公约数是1。

波沙答得快,答得好,可见他善于思考问题,发现规律。后来,厄尔多斯经常出问题给他做,波沙很快成了一位数学家。

为什么从2n个自然数1,2,3,……2n中,任意取出n+1个,一定有两个是相邻的呢?

这可以用既简单又有趣的抽屉原则来证明。这个原则说:把n+1个苹果放到n个抽屉中,一定有一个抽屉中的苹果个数不少于2。换句话说,从n个抽屉中取出n+1个苹果,那么,一定从某一个抽屉中取出两个或者更多个苹果。

对。要是从每个抽屉中,都至多取出1个苹果,那么从n个抽屉中,至多只能取出n个苹果。

好,现在我们把1,2,3,……2n这2n个数分成n组:1,2为一组;3,4为一组;……2n-1,2n为一组。再把每一组看成是一个抽屉,每一个数看成是一个苹果。根据抽屉原则,取出的n+1个数——苹果,一定有两个是在同一组中,也就是说它们是相邻的。

抽屉原则用处很大。再举一个例子:任取五个自然数a1,a2,a3,a4,a5,证明其中一定有一个数或者几个数的和,能被5整除。解这类问题的关键,是制造适当的抽屉。我们把五个自然数放在五个抽屉里:除以5余1的放在第一个抽屉里;除以5余2的放在第二个抽屉里;余3的放在第三个抽屉;余4的放在第四个抽屉;最后,被5整除(除以5余0)的数放在第五个抽屉里。

现在来考虑这五个自然数:a1,a1+a2,a1+a2+a3,a1+a2+a3+a4,a1+a2+a3+a4+a5。

要是其中有一个在第五个抽屉里,结论已经成立。要是这五个数都不在第五个抽屉里,那么,这五个数在前四个抽屉里。根据抽屉原则,其中一定有两个数在同一个抽屉里。也就是说这两个数除以5,所得的余数相同。这样,这两个数的差被5整除。可是,在a1,a1+a2,a1+a2+a3,a1+a2+a3+a4,a1+a2+a3+a4+a5中,任意两个数的差是a2,a3,a4,a5中的一个或者几个的和。所以,在a1,a2,a3,a4,a5中,一定有一个或者几个的和被5整除。

在解答与整数有关的问题时,考虑余数是一种常用的方法。奇数与偶数就是除以2余1与余0的数。

本文标题:波沙的故事

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发布:小学数学资优网

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