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一道国际数学奥林匹克题

一道国际数学奥林匹克题:从1959 年起,每年举行一次的国际中学生数学竞赛,又叫做国际数学奥林匹克。第二十四届国际数学奥林匹克有一道题是:设a、b、c 是三角形的边长,证明a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0;确定等式成立的条件。

 有人认为这里的a、b、c,可以推广为任意正数,并且还给出了证明。很遗憾,他的证明是错的。他所说的推广:设a、b、c 为任意正数,那么:a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,是不能成立的。

 要证明这个推广不成立,只要举出一个反例,也就是举出一个使它不成立的例子,就足够了。怎样举反例,通常是选用极端的情况。比如说a=b=c。这里,a=b=c,等号成立,不是反例。要是取b>a,这时a2b(a-b)<0。再设c 很小,这时b2c(b-c)+c2a(c-a)也就很小。所以,它与负数a2b(a-b)的和a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)<0。这就证明了推广是不成立的。

 原来的问题怎样解,这可不容易。不只优秀的中学生感到困难,大学生也不一定能顺利解决。参加这次比赛的一名西德选手,却找到了一个简洁的证明。这个证明只有一个等式和一句话:设a 为最大边,因为a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)=a(b-c)2(b+c-a)+b(a-b)(a-c)(a+b-c),而后边的每一项都是非负的,所以原式成立;只有当a=b=c 时,原式才是等式。

 附带说一下。1985 年7 月,第二十六届国际数学奥林匹克在芬兰举行,我国首次派出一名高二学生和一名高三学生前往参加,名次靠后。看来,我国的成绩不够理想,准备不够是原因,现场应变能力较差也是原因。

 这次竞赛有两道几何题:一,设凸四边形ABCD 的顶点在一个圆上,另一个圆的圆心在边AB 上,并且与四边形的其余三条边相切。求证AD+BC=AB。二,设ABC 为三角形,一个以O 为圆心的圆经过顶点A 和C,又和线段AB、BC 分别交于点K、N,K 与N 不同;△ABC 和△KBN 的外接圆,恰好相交于B 和另一个点M。求证∠OMB 为直角。

 这两道题层次多,难度较大。既需要扎实的基本知识,又需要机智和技巧,才能找到解决问题的突破口。

 1986 年初,中国数学会和南开大学在天津主办了首届全国中学生数学冬令营。通过考试,从营员中选拔选手,参加1986 年7 月在波兰举行的第二十七届国际数学奥林匹克。冬令营的考试很别致,发糖果和点心,有休息室和茶水,什么时候想出去走动走动都可以。据说,今后的国际数学奥林匹克赛就是这个样子。看来,这样的适应性训练是需要的。

据新华社华沙7 月14 日电:第二十七届国际数学比赛结果今天揭晓。两名苏联选手和一名匈牙利选手以满分(42 分)获一等奖。我国来自郑州、上海、天津的三名选手,分别以41、39、37 分获得一等奖。来自西安、湖北黄冈的两名选手,分别获得二等、三等奖。和上一届比,我国代表队的成绩,进步很大。

本文标题:一道国际数学奥林匹克题

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发布:小学数学资优网

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