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欧几里得怎么证明质数个数是无限的

欧几里得怎么证明质数个数是无限的:数论与几何学一样,是最古老的数学分支。欧几里得的《几何原本》的七、八、九章,讲的就是数论。对于质数的研究,在数论中占有很重要的位置。我们知道,正整数是由1、质数(也叫素数)与合数这三类数组成的。

一个大于1的正整数,如果只能被1和它本身整除,不能被其他正整数整除,这样的正整数就叫做质数;否则就叫做合数。在整数1、2、3、4、……中,去掉1与全部合数,所得的表:2,3,5,7,11,13,17,……称为质数表。在质数表中,除了第一个质数2,其余都是奇质数。现在世界上最好的质数表是查基尔编的,列有大不大于50000000(五千万)的质数。

关于质数,最古老的问题是:质数有多少个?欧几里得在《几何原本》中,最先证明了质数有无穷多个。他的巧妙的证明方法,闪耀着智慧的光辉。

2000多年来,人们虽也提出过一些别的证法,但是直到今天,还是欧几里得的证明方法最好。

欧几里得证明质数有无穷多个的方法,大意是:假若质数只有有限多个,设最大的一个是P,从2到P的全体质数是:2,3,5,7,11……,P。所有的质数都在这里,此外再没有别的质数了。

现在,我们来考察上面从2到P的全体质数相乘、再加上1这个数,设它是A,即A=2×3×5×7×11×……×P+1。A是一个大于1的正整数,它不是质数,就是合数。

如果A是质数,那么,就得到了一个比质数P还要大的质数,这与质数P是最大质数的假设矛盾。

如果A是合数,那么,它一定能够被某个质数整除,设它能被g整除。

因为A被从2到P的任何一个质数除,余数都是1,就是都不能整除,而质数g是能整除A的,所以质数g不在从2到P的全体质数之中。这说明质数g是一个比质数P更大的质数,这又与P是最大的质数的假设矛盾。

上面的证明否定了质数只有有限多个的假定,这就证明了质数是无穷多个。

这个证明的构思非常巧妙,它的基本思路是:既然对于无论多大的质数,都一定有比它更大的质数,那当然质数就是无穷多个了。质数虽然有无穷多个,但是在自然数中,它是排列得相当稀的。人们证明了这样一个道理:无论给定一个多大的正整数,比方说100亿万,一定能找到一个正整数,在这个正整数中,一个质数也没有。如果你不是说100万,而是说100亿万,这个结论也成立。

这个定理的证明,在构思上与证明质数无穷相象。质数虽然有无穷多个,但人们能具体写出来的,总是有限个。因此,找一个比现在所知道的最大质数更大的质数,是人们经常探讨的难题之一。

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发布:小学数学资优网

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