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抽象代数学的诞生

抽象代数学的诞生:伽罗华于1811年10月26日,出生在法国巴黎附近的一个小市镇上。他从16岁起,就致力于五次以上方程的根式解法的研究。伽罗华不仅对前辈数学家拉格朗日等的工作,有深入的学习和了解;而且对同时代的数学家阿贝尔等的成果,也有研究和认识。他是在前人的基础上,走上一条崭新的道路的。

1828年,17岁的中学生伽罗华认为自己得到了重大的成果。他写出论文,把它送交有很多当代第一流数学家的法兰西科学院,要求审查。那年6月1日,在法兰西科学院的例会上,曾决定由当时的大数学家柯西与波阿松,审查这位中学生的论文。但是,那位法国和世界最有名望的大数学家之一的柯西,根本不重视这件事,他把伽罗华的论文给弄丢了。
伽罗华还在继续研究。1829年,他又写了一些重要论文,于1830年第二次把论文提交法国科学院审查。这一回,科学院决定由著名的数学家富里埃审查。可是62岁的富里埃,就在那年离开了人世。人们不但不知道富里埃的审查意见,而且在他的遗物中,没有找到伽罗华的论文,显然是又弄丢了。

伽罗华曾对此提出了意见。幸好,第一次应该和柯西一道负责审查伽罗华论文的那位科学院院士波阿松,注意到了伽罗华的稿件一再被丢失的情况,劝他重写一份。1831年,伽罗华把重写的论文,第三次交给法国科学院。

热心的波阿松,亲自审查了这份多灾多难的论文。他审查了四个月,可是看不懂。波阿松只好在他签署的审查意见上,说自己“完全不能理解”。当代杰出的数学家波阿松都说他不能理解,怎么办呢?看来,伽罗华应该把自己的论文写得通俗一些,详细一些。但是,伽罗华不可能有更多的时间和精力来充分阐述自己的观点了。因为他是一个忧国忧民的青年,正在参加当时法国如火如荼的政治斗争。

当时法国的形势是这样的:1830年六七月间,国王查理一世因为违反和破坏了宪法,被愤怒的巴黎群众赶走了。可是前门驱狼,后门进虎,“波旁王朝”被推翻,奥尔良公爵路易——菲力浦,却趁机当上了国王,建立了“七月王朝”。这时伽罗华正在投考大学。和高斯的情况正好相反。伽罗华在世的时候,很少有人认为他是“天才”或者“神童”什么的。后来,人们谈起伽罗华来,有的老师说:“他没有智慧,不然就是他把他的智慧隐藏得太好了,使我简直没法子去发现它。”有的老师干脆说:“他什么也不懂。”

当时,巴黎最著名的大学是工科大学和高等师范学校。伽罗华很想读工科大学,但是两次都没考上。在第二次考工科大学时,他也考了高等师范学校,幸好考取了。1830年,19岁的枷罗华,进入高等师范学校学习。就在这年的7月,路易—菲力浦篡权上台。

生气勃勃的伽罗华,是个激进的共和主义者,他和他的战友向篡夺政权的路易——菲力浦王朝,展开了激烈的斗争。这年12月,入学不久的伽罗华被学校开除了。被开除后,伽罗华以为人补习数学为业,但他的革命斗志更旺。1831年六月,他被捕了,罪名是企图暗杀国王。由于警方拿不出证据,只好释放了他。但是紧接着在七月间,伽罗华第二次被捕,并且被投入监狱,一直关到了1832年春天,因为监狱里流行传染病,才把他释放出狱。

半年多的监狱生活,使这个21岁的青年身心受到了严重的摧残。他的姐姐回忆说,那时伽罗华面色憔悴,两眼发呆,活像一个50岁的老头。出狱后一个月,反动派设下圈套,让伽罗华与路易—菲力浦王朝的一个反动军官决斗,被击中致命处,第二天——1832年5月31日早晨,不满21岁的伽罗华离开了人世。

伽罗华短促的一生,像一闪而过的明星,照亮了近世代数学前进的道路!在决斗前夕,伽罗华把他的研究工作写成扼要的信件,托朋友转交《百科评论》杂志发表。这封信在他逝世之后4个月发表了,但是没有引起人们的重视。

伽罗华在他仓促写成的信中,希望他的朋友把他的研究成果交给当代的大数学家,信末有这样的话:“你可以公开请求雅可比或者高斯不是对于这些定理的真实性,而是对于其重要性表示意见。在这以后,我希望有一些人将会发现,把这堆东西注释出来对他们是有益的。”据后来的调查,这些资料在当时并没有交给这两位数学家。

在伽罗华逝世后14年的1846年,法国数学家柳维勒,从伽罗华的弟弟那里得到了一些伽罗华的手搞,并且把它发表在自己创办和编辑的数学杂志上。从此,伽罗华的思想才逐渐引起人们注意和理解。以后,人们又从伽罗华的姐姐、弟弟那里,搜集到他遗留下来的全部手稿。这不到80页的手稿,是伽罗华给人类留下的十分宝贵的财富。数学家在这个基础上,开始注释、追踪、研究和发展伽罗华所开创的工作。

到19世纪晚期,伽罗华所开创的数学工作,逐渐形成了数学的一个重要的分支——近世代数学,又叫做抽象代数学。因为它已经成为了近代代数学的主要内容,所以也有人干脆就叫它代数学的。它的主要内容,包括群论、环论、域论、布尔代数,以及共他代数系统的重要理论。这些理论,是近世代数学的伟大成就,并且在科学技术中有广泛的应用。
伽罗华是群论的奠基人。以伽罗华的名字命名的伽罗华理论,使得五次以上的代数方程,不可能有一般的根式解,初等几何作图三大难题,以及高斯关于正多边形作图的定理等等,都不过是一些明显的推论或者简单的例题、习题了。

今天,大学生在学了伽罗华理论后,稍带就证明了三等分角、立方倍积与化圆为方,是规尺作图的不可能问题。在规尺作图三大难题中,化圆为方问题是最后得到解决的。根据伽罗华理论,如果π是超越数,那么,化圆为方是规尺作图的不可能问题。可是,数学家拖了很长的时间,才证明了π是超越数,这就相应地推迟了化圆为方问题的解决。

什么是超越数?这个概念,首先是由著名数学家欧拉提出来的。比如圆周率π是我们很熟悉的。我国南北朝时的数学家祖冲之,计算出π的值在3.1415926与3.1415927之间。π的值这样算下去,它是有尽小数呢?还是无穷小数?如果是无穷小数,那么,是不是循环小数呢?如果能证明π是不循环的无尽小数,那就是无理数了。

超越数

2代数方程的实数,叫做代数数;凡不是代数数的实数,都叫做超越数。由此可见,超越数必然都是无理数;但是一个无理数是不是超越数,那就需要证明了。人们发现,要证明π是一个无理数并不太困难,要证明π是一个超越数,却是一个很难的题目。直到1882年德国数学家林德曼才证明了π是超越数,使方圆问题是规尺作图的不可能问题,得到证明。

到此,初等几何三大难题全部彻底解决。这三大难题,从传说中的第罗斯岛人改造祭坛的年代起,到19世纪末叶,前后经历了2000多年。在全世界的几十代人的努力中,不知有多少人为它绞尽脑汁,熬尽心血,吃尽苦头,耗尽精力,才夺得最后的解决。这真是得来不易的胜利啊!

本文标题:抽象代数学的诞生

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发布:小学数学资优网

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