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布丰先生的投针试验

公元1777 年的一天,法国科学家D·布丰(D·buffon1707~1788)的家里宾客满堂,原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。

试验开始,但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来,纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针,这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布:“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧!不过,请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”

客人们不知布丰先生要干什么,只好客随主意,一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了,把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着,如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后,布丰先生高声宣布:“先生们,我这里记录了诸位刚才的投针结果,共投针2212 次,其中与平行线相交的有704 次。总数2212 与相交数704 的比值为3.142。”说到这里,布丰先生故意停了停,并对大家报以神秘的一笑,接着有意提高声调说:“先生们,这就是圆周率π的近似值!”

众宾哗然,一时议论纷纷,个个感到莫名其妙;“圆周率π?这可是与圆半点也不沾边的呀!”

布丰先生似乎猜透了大家的心思,得意洋洋地解释道:“诸位,这里用的是概率的原理,如果大家有耐心的话,再增加投针的次数,还能得到π的更精确的近似值。不过,要想弄清其间的道理,只好请大家去看敝人的新作了。”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。

π在这种纷纭杂乱的场合出现,实在是出乎人们的意料,然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题,是布丰先生最先提出的,所以数学史上就称它为布丰问题。布丰得出的一般结果是:如果纸上两平行线间相距为d,小针长为l,投针的次数为n,所投的针当中与平行线相交的次数是m,那么当n 相当大时有:π≈2ln/(dm)。在上面故事中,针长l 等于平行线距离d 的一半,所以代入上面公式简化得:π≈n/m。

我想,喜欢思考的读者,一定想知道布丰先生投针试验的原理,下面就是一个简单而巧妙的证明。

找一根铁丝弯成一个圆圈,使其直径恰恰等于平行线间的距离d。可以想象得到,对于这样的圆圈来说,不管怎么扔下,都将和平行线有两个交点。因此,如果圆圈扔下的次数为n 次,那么相交的交点总数必为2n。

圆圈与铁丝

现在设想把圆圈拉直,变成一条长为πd 的铁丝。显然,这样的铁丝下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些,可能有4 个交点,3 个交点,2个交点,1 个交点,甚至于都不相交。

由于圆圈和直线的长度同为πd,根据机会均等的原理,当它们投掷次数较多,且相等时,两者与平行线组交点的总数可望是一样的。这就是说,当长为πd 的铁丝扔下n 次时,与平行线相交的交点总数应大致为2n。

现在再来讨论铁丝长为l 的情形。当投掷次数n 增大的时候,这种铁丝跟平行线相交的交点总数m 应当与长度l 成正比,因而有:m=kl,式中K 是比例系数。为了求出K 来,只需注意到,对于l=πd 的特殊情形,有m=2n。于是求得K =2n/(πd) 。代入前式就有m =2lk/(πd),从而π≈2ln/(dm),这便是著名的布丰公式。

利用布丰公式,还可以设计出求根号2、根号3、根号5等数的近似值的投针试验呢!亲爱的读者,你不妨一试。

本文标题:布丰先生的投针试验

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发布:小学数学资优网

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