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威廉·向克斯的憾事

圆周率π是圆周长与直径的比值。公元前三世纪,古希腊著名学者阿基米德(Archimada 公元前287~212 年)计算出π≈3.14。公元263 年前后,我国魏晋时期的数学家刘徽,利用割圆术计算了圆内接正3072 边形的面积,求得π≈3927/1250= 3.1416 。又过了约两百年,我国南北朝时期杰出的数学家祖冲之(429~500)确定了π的真值在3.1415926 与3.1415927 之间。

祖冲之之后的第一个重大突破,是阿拉伯数学家阿尔·卡西,他计算了圆内接和外切正3×228=805306368 边形的周长后得出:π≈3.1415926535897932。公元1610 年,德国人鲁道夫(1540~1610)把π算到了小数点后35位。往后,记录一个接一个地被刷新:1706 年,π的计算越过了百位大关,1842年达到了200 位,1854 年突破了400 位,……1872 年,英国学者威廉·向克斯(1812~1882)花费了整整二十个年头把π的值算到了小数点后707 位。向克斯死后,人们纪念他,就在他的墓碑上刻下了他一生心血的结晶:π的707 位小数。

此后半个多世纪,人们对威廉·向克斯的计算结果深信不疑,以至于在1937 年巴黎博览会发现馆的天井里,依然显赫地刻着向克斯的π值。

又过了若干年,数学家法格逊对向克斯的计算结果产生怀疑,他认为在π的数值式中,各数码出现的概率都应当等于1/10。于是,他统计了威廉·向克斯π的头608 位小数中,各数码出现的情况:

数码 出现次数 出现频率 与设想频率相差
0 60 0.099 -0.001
1 62 0.102 +0.002
2 67 0.110 +0.010
3 68 0.112 +0.012
4 64 0.105 +0.005
5 56 0.092 -0.008
6 62 0.102 +0.002
7 44 0.072 -0.028
8 85 0.095 -0.005
9 67 0.110 +0.010
  608 1.000  

法格逊觉得:向克斯计算的π,数码出现的次数不基本相同,可能是计算有错。于是,他下定决心,用当时最先进的计算工具,从1944 年5 月到1945年5月,整整算了一年,终于发现:向克斯π的707 位小数中,只有前527 位是正确的,由于从当初向克斯没有发现,使他白白浪费了许多年的光阴,这真是向克斯终生的憾事。法格逊的成就,基于他的一个猜想,即在π值的数值式中各数码出现的概率相等。尽管这个猜想曾导致法格逊发现并纠正了向克斯的错误,然而猜想毕竟不等于事实!法格逊想验证它,却无能为力,人们想验证它,又苦于已知π的位数太少。但是情况很快有了转机,随着电子计算机的出现和应用,计算π的值有了飞速进展。1961 年,美国学者丹尼尔和伦奇把π算到了小数点后100265位,20 年后,日本人又把记录推过了200000 位大关。于是,人们的心中又重新燃起了验证法格逊猜想的希望之火。1973 年,法国学者让·盖尤与芳旦娜小姐合作,对π的前一百万位小数中各数码出现的频率,进行了有趣的统计,得出以下结果。

数码 出现次数 出现频率
0 99959 0.1000
1 99758 0.0988
2 100026 0.1000
3 100229 0.1002
4 100230 0.1002
5 100359 0.1003
6 99548 0.0995
7 99800 0.0998
8 99885 0.1000
9 100106 0.1001
  1000000 1.0000

从上表看出,尽管各数字出现也有某种起伏,但基本上平分秋色。看来,法格逊的想法应当是正确的!在π的数值展开式中——各数字出现的概率是:

P(0)=P(1)=P(2)=⋯⋯=P(9)=0.1。

本文标题:威廉·向克斯的憾事

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发布:小学数学资优网

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