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难以遮掩的光芒——伽罗华

确实,伽罗华的思想是那样深邃,以至于当时的知名学者都难以估量这项工作的价值。现在看来,尽管伽罗华的数学研究是围绕代数方程的根式解展开的,但对于整个数学的影响却远非如此。我们不妨从数学史谈起。

在公元前20 世纪左右,巴比伦人就能解二次方程了。16 世纪欧洲文艺复兴时期,意大利数学家找到了三次方程的求根公式,不久,费尔拉里又发现了四次方程的根式求解方法。正当数学家们踌躇满志地向五次方程及更高次代数方程进军时,遇到了料想不到的困难,各种努力均告失败。拉格朗日称之为“好像是向人类智慧的挑战”,他透彻地分析了前人所得到的次数低于5 的代数方程的解法,机智地预见到也许5 次以上的代数方程无一般的公式解(但未能给出证明)。1824 年,年轻的挪威数学家阿贝尔证明了拉格朗日的这一设想,从而摘取了数学皇冠上的一颗明珠。不过,其证明并没有给出一个准则来判定一个具体数字系数的高次代数方程能否用根号求解。他们的功绩不容抹煞,但与伽罗华的光辉成就相比就逊色多了。伽罗华一开始就表现出自己的风格:他感兴趣的不是具体的数学问题,不是研究高次代数方程所得出的具体结论,而是解决这些问题的一般方法,是能概括这些具体成果并决定数学长期发展的深刻理论。

在伽罗华以前的数学家,总是努力从已知概念和定理出发寻求新的证明,致力于数学技巧的竞争,而伽罗华所走的道路乃是寻求新问题所需要的新名称、符号,即首先进行概念的突破,然后用新概念来构造新证明。伽罗华用非常独到的思路研究解方程的步骤,注意到方程根的对称性以及根变换之间的关系,定义了“群”的概念,并给以活的灵魂。伽罗华的工作不是研究方程本身,而是研究与方程密切联系的变换群,这样就使方程的特性反映在变换群的特性上,因而弄清了群的规律性,也就透彻地解决了方程的求解问题。更重要的是,群所处理的是抽象的对象,由群的理论研究获得的一般结果,带有深刻的普遍性。因此,以群论为代表的数学理论,是处理问题的一种深刻的现代数学方法,为其他研究提供了有力的数学工具。这种理论对于近代数学、物理学的发展,甚至对20 世纪结构主义哲学思想的产生,都产生了深远的影响,具有划时代的意义。但由于当时人们沉醉于对形式和技巧的盲目追求,旧时代数学家未能理解伽罗华的数学研究,因此,直至1846年(而此时伽罗华已去世14 年),这些主要成果与见解才发表在刘维尔创办的《纯粹数学和应用数学杂志》上,以及约当1870 年出版的《置换和代数方
程专论》一书中。这样,伽罗华超越时代的天才思想逐渐被人们理解和承认,并发展成今天这样一门博大精深的基础学科——近世代数。

淘尽黄沙始见金。随着科学的发展,人们越加认识到伽罗华思想的价值。伽罗华也因之得到他生前没有得到的荣誉和尊敬。我们纪念伽罗华,这不仅因为他是一位杰出的数学英才,而且还因为他是一位勇敢不屈的战士。一方面,当自己的成果和才能不被理解和承认时,他没有消沉,没有气馁,而是更积极地研究、探索;另一方面,他又以战士的姿态积极投身于争取社会进步的革命活动中,坚强不屈,视死如归。伽罗华生活在经历了资产阶级大革命后的法兰西,生长在压制革命摧残人才的波旁王朝复辟时期,他不是那种害怕社会斗争的急风暴雨而躲进科学象牙之塔中的人,而是始终站在人民斗争的前列。1830 年“七月革命”期间,他因参加“民友社”、抨击学校子监不支持革命等而被开除,又因率众游行而以政治罪两次被囚禁。所有这些都没有使伽罗华屈服,他把科学理想和社会信念结合起来,不论在数学王国,还是在现实斗争中,至死保持着对真理的忠诚。

监狱生活也阻止不了伽罗华的数学研究。这时他对法国科学院已经完全失去了信心。他一边整理已经取得的研究成果,修改关于方程论的论文并在椭圆函数方面作深入的研究,一边着手撰写准备为以后出版著作时用的序文。1832 年4 月29 日,伽罗华获释出狱治病。几个月的囚禁生活严重摧残了他的身体健康,内心也饱受痛苦和愤懑。他原计划离开巴黎继续从事他的研究。但路遇不速之客,相约于5 月30 日决斗。结果造成重伤,于次日凌晨离世,时年不满21 岁。

决斗前夕,伽罗华考虑到可能产生的后果,因此郑重其事地写了几封信。在致全体共和派的信中,他写道:我请求我的爱国朋友们不要责怪我不是为自己的祖国而献出生命。伽罗华在生命的最后时刻还想着祖国、人民、战友;伽罗华还深深惦记着他一生为之奋斗的事业——数学,他匆忙中还精心地将研究成果扼要地写在字条上,并附以自己的论义手稿,留给了他的好友舍瓦烈,并请他“公开向雅可比和高斯请教,并建议他们发表自己的意见,但不是谈理论的正确与否,而是谈这些理论的意义和价值。”看来,伽罗华寄希望于德国数学家,希望他们“仗义直言”,并指引后人对他所留下的问题深入研究。

孰知不向边庭苦,纵死犹闻侠骨香。伽罗华过早地告别了他驰骋的战场,但他的精神及其开创的事业流芳百世。有人说,他的死,使数学进展延缓了数十年。是的,这不仅仅是伽罗华的悲剧,也是数学的悲剧。但是我们又有什么理由来指责这位不足21 岁的年轻人呢?两次投考综合技术学校而落选,研究成果不被人理解与尊重,父亲自杀,被师范大学除名,两次囚禁……

伽罗华终于满怀惆怅地倒了下去。伽罗华作为一个天才的数学家,不仅巧妙地运用置换群这一工具,透彻地解决了在长达200 多年的时间中令不少数学家伤透脑筋的问题,而且由于其独特的数学思想与巧妙方法,成为无可争辩的近世代数创始人;伽罗华作为一名勇敢顽强的战士,不仅执着地追求、捍卫数学真理,而且坚决地与命运、保守势力抗争。因此,伽罗华的名字令人肃然起敬,伽罗华的成绩值得我们珍惜,伽罗华的精神更将鼓舞我们去攀登、开拓。

本文标题:难以遮掩的光芒——伽罗华

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发布:小学数学资优网

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