教育日志

六年级下册第五单元“抽屉原理”教材解读

资优博客 2011年05月2日 没有评论 分类:小学数学教育 

本文转自龙启学老师的OFFICE网校博客,原文标题为《解读“抽屉原理”》,原文地址:http://space.30edu.com/08560528/ReadArticle.aspx?ID=4312b062-25ee-4f1f-8280-67f0470e9e31

当“抽屉原理”从少数精英学生学习的奥林匹克竞赛课堂走向全体学生学习的大众课堂的时候,无疑对教师和学生都构成了前所未有的挑战。为此,颇有必有对此展开学习和研讨。

     一、抽屉原理简介

     抽屉原理又称鸽巢原理,它是组合数学的一个基本原理,最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的,因此,也称为狭利克雷原理。

     原理1:多于n个的元素,按任一确定方式分成n个集合,则至少有一个集合中含有至少二个元素。

     原理2:np+1(n、p∈N*)分成n个集合,则至少有一个集合中含有至少p+1个元素。

     原理3:无穷多个元素分成n个集合,则至少有一个集合中含有无穷多个元素。

      现行的小学课本中只编排了抽屉原理1、2的教学。

      二、 运用抽屉原理解题的步骤

      第一步:分析题意。分清什么是“东西”,什么是“抽屉”,也就是什么作“东西”,什么可作“抽屉”。

      第二步:制造抽屉。这个是关键的一步,这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论,结合有关的数学知识,抓住最基本的数量关系,设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数,为使用抽屉铺平道路。

      第三步:运用原理。观察题设条件,结合第二步,恰当应用各个原则或综合运用几个原则,以求问题之解决。

      三、理解抽屉原理要注意几点

    (1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系,要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多,至于多多少,这倒无妨。

    (2)“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法,不规定每个抽屉中都要放物品,即有些抽屉可以是空的,也不限制每个抽屉放物品的个数。

    (3)抽屉原理只能用来解决存在性问题,“至少有一个”的意思就是存在,满足要求的抽屉可能有多个,但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。

    (4)将a件物品放入n个抽屉中,如果a÷n= m……b,其中b是自然数,那么由抽屉原理2就可得到,至少有一个抽屉中的物品数不少于(m+1)件。

     四、抽屉原理的教材分析

     “数学广角”是人教版六年级下册第五单元的内容。在数学问题中,有一类与“存在性”有关的问题,如任意367名学生中,一定存在两名学生,他们在同一天过生日。在这类问题中,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了,并不需要指出是哪个物体(或哪个人),也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体(或人)找出来。这类问题依据的理论,我们称之为“抽屉原理”。本节课教材借助把4枝铅笔放进3个文具盒中的操作情境,介绍了一类较简单的“抽屉原理”,即把m个物体任意分放进n个空抽屉里(m>n,n是非0自然数),那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。关于这类问题,学生在现实生活中已积累了一定的感性经验。教学时可以充分利用学生的生活经验,放手让学生自主思考,先采用自己的方法进行“证明”,然后再进行交流,在交流中引导学生对“枚举法”、“反证法”、“假设法”等方法进行比较,使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题,发展学生的抽象思维能力。

      五、抽屉原理的教学目标

      1. 了解原理。通过操作、观察、比较、推理等活动,让学生经历“抽屉原理”的探究过程,并逐步理解和掌握“抽屉原理”。

      2、简单运用。会用“抽屉原理”解决生活中简单的实际问题,培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。

      3.学会建模。使学生经历将具体问题“数学化”的过程,培养学生的“模型”思想。

      4、感受魅力。通过“抽屉原理”的灵活应用让学生感受到数学的魅力,并培养学生对数学的学习兴趣。

      六、抽屉原理的教材解读

     (一)例1和做一做

     例1、把4枝铅笔放在3个文具盒里,不管怎么放,总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。

      1、体验方法多样

     (1)枚举法:(4、0、0),(3、1、0),(2、2、0),(2、1、1),

      (2)假设法(用极端法做最坏的打算)

       假设每个文具盒只放1枝铅笔,最多放3只。剩下的1枝还要放进1个文具盒。所以至少有2枝铅笔放进同一个文具盒。

      (3)反证法

假设每个文具盒放进的铅笔枝数都少于2枝,那么最多只能放3枝铅笔,而把4枝铅笔放在3个文具盒里,所以假设不成立。因此,至少有2枝铅笔放进同一个文具盒。

       2、体验结果存在

      不管是哪个物体存在,因何种方式存在,只要存在即可。

      3、体验数量积累

      从量变到质变。

      把4枝铅笔放在3个文具盒里

      把5枝铅笔放在4个文具盒里

      把6枝铅笔放在5个文具盒里

      把10枝铅笔放在9个文具盒里

      把100枝铅笔放在99个文具盒里

      把8枝铅笔放在3个文具盒里

      ……

      4、体验方法优劣

      枚举法受到数量多少的局限

      假设法能够解决一般的问题

      反证法不利于小学生的接受

      做一做:6只鸽子飞回5个鸽舍,至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么?

      解答:假设每个鸽舍只飞进1只鸽子,最飞进5只鸽子。剩下的1只鸽子还要飞进同一个鸽舍里。所以至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里。

      5、体验语言严谨

      要让学生逐步学会用简练、严谨的数学语言表达数学思维的过程和结果。

     (二)例2和做一做

      例2、把5本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉至少放进3本书。7本呢?9本呢?

      1、关注学习过程:操作、观察、比较、合情推理、归纳。

      2、注重方法多样:

      枚举法:(5,0),(4,1),(3,2)三种情况,可知在任何一种结果中,总有一个数不小于3,故总有一个抽屉里至少有3本书;

      假设法:先把每个抽屉各放1本,还剩下3本,再把每个抽屉各放1本,还剩1本,这样不管怎么放,总有一个抽屉至少放进3本书;也可能有学生说把5本书放进2个抽屉里,如果每个抽屉里先放2本,还剩1本,这本书不管放到哪个抽屉里,总有一个抽屉里至少有3本书。

       3、借助算式思考。(注意用“商+1”就可以了,不是“商+余数”)

       4、学会归纳总结。

       5、沟通例1例2。

      做一做:8只鸽子飞回3个鸽舍,至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么?

      解答:假设每个鸽舍只飞进2只鸽子,最飞进6只鸽子。剩下的2只鸽子还要飞进鸽舍里。所以至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。

      (三)例3和做一做

       例3、盒子里同样大小的红球和篮球各4个,要想摸出的球一定有同色的,最少要摸几个球?

        1、寻找与抽屉原理的本质联系

        怎样把这一问题与抽屉原理挂钩?即是要把多少个物体放进多少个抽屉里?

       要摸出多少个球就是物体的个数,即要所求。

       两种颜色就是两个抽屉。

       结果是摸出的球数比颜色数多1,即3个球。

       2、注意突出对“至少”的理解

      (     )÷2=(    )……1

       3、注重抽屉原理的变式训练

      做一做:

      1、向东小学六年级共有370名学生,其中六(2)班有49名学生。六年级里一定有两人的生日是同一天。六(2)班中至少有5人是一个月出生的。他们说得对吗?为什么?

      解答:(1)把370个物体放进366个抽屉

       370÷366=1……4

     (2) 把49个物体放进12个抽屉

       49÷12=4……1

       2、把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球,可以保证取道两个颜色相同的球?

      解答:要摸出多少个球就是物体的个数,即要所求。

      4种颜色就是4个抽屉。

      结果是摸出的球数比颜色数多1,即5个球。

     (四)练习十二习题解答

       1、从扑克牌中取出两张王牌,在剩下的52张中任意抽出5张,至少有2张氏同花色的。试一试,并说明理由。

      解答:要摸出多少个球就是物体的个数,即要所求。

      4种颜色就是4个抽屉。

      结果是摸出的同花色的牌数比颜色数多1,即5张牌。

        2、张叔叔参加飞镖比赛,投了5镖,成绩是41环。张叔叔至少有1镖不低于9环。为什么?

       解答:41÷5=8……1

        3、任意3个不同的自然数,其中一定有2个数的和是2的倍数。能说明其中的道理吗?

       解答:物体数:3个(奇、奇),(奇、偶),(偶、偶),其和为2偶1奇。

       抽屉数:2个(和的两种情况:奇数和偶数)

       4、给一个正方体的6个面分别涂上蓝、黄两种颜色。不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。为什么?

      解答:反证法说明。

      5、把波、黄、蓝三种颜色的小棒各10根混在一起。如果让你闭上眼睛,每次最少拿出几根才能保证一定有两根向同色的小棒?保证有2对同色的小棒呢?

      解答:(同上面的做一做,答案略)

      6、给下面每个格子涂上红色或蓝色。观察每一列,你有什么发现?如果只涂2行的话,结论有什么变化?
     解答:

    (1)物体数:9个(1列看作1个物体)

     抽屉数:8个(红,红,红),(红,红,蓝),(红,蓝,红),(蓝,红,红),(红,蓝,蓝),(蓝,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,蓝)

      9÷8=1……1

       结论:至少有两列涂法相同。

       (2)物体数:9个(1列看作1个物体)

        抽屉数:4个(红,红),(红,蓝),(蓝,红),(蓝,蓝,)

       9÷4=2……1

       结论:至少有3列涂法相同。

       7、任意给出5个非零的自然数。能找到3个数,让这3个数的和是3的倍数。说出其中的奥秘。

       解答:所有的整数按照除以3的余数都可以分在三个集合里:   {3k+1},{3k+2},{3k},其中k为整数 。

       对于任意取的5个整数,如果它们都分布在同一个集合里的话,那么显然任取三个数的和都能被3整除。

       如果它们没有都分在一个集合里,而恰好只分在两个集合里的话,那么5个元素分布到两个集合中,至少有一个集合含有至少3个元素,那么可以发现这三个元素的和是可以被3整除的。

       如果这5个整数分布在3个集合每个集合都有元素的话,那么显然,从每个集合中取出一个元素,它们的和就可以被3整除。

      8、思考题:把1-8这8个数任意围成一个圆圈。在这个圈上,一定有3个相邻数的和大于13。你知道其中的奥秘吗?

       解答:设a1,a2,a3,…,a7,a8分别代表不超过8的自然数,它们围成一个圈,三个相邻的数的组成共8组.现把它们看作8个抽屉,每个抽屉的物体数的和是:

       3×(1+2+…+7+8)=108

       108÷8=13……4

       根据原则2,至少有三个相邻的数的和不小于13。

本文标题:六年级下册第五单元“抽屉原理”教材解读

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