教育日志

新版教材中如何教学求最大公因数与最小公倍数的内容

admin 2011年06月4日 没有评论 分类:小学数学教育 

最大公因数(又叫最大公约数)与最小公倍数在人教版的上一版教材中,是一个很重要的内容,教材中花了很大的篇幅让学生学习掌握这一知识。教过上一版教材的老师印象最深刻的恐怕就是短除法了。 但是短除法这一内容在新人教版中仅作为让学生了解的内容在“你知道吗?”版块出现了一次。没有了短除法,我们该如何教最大公因数与最小公倍数呢?以下是我的一点看法,仅供同行们参考,也欢迎大家批评指正。

1.让学生理解最大公因数与最小公倍数的含义。这里最直观的方法就是列举法,通过具体的例子让学生知道什么是最大公因数和最小公倍数。

(1)最大公因数。如45和60,45的因数有:1,3,5,9,15,45,60的因数有:1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60,可以看出45和60公有的质因数有:1,3,5,15,而15是它们公有的质因数中最大的一个,所以称为45和60的最大公因数。为什么不讲求两个数的最小公因数呢?因为任意两个非零自然数的最小公因数都是1,是不需要去求的。

(2)最小公倍数。这次我们以12和18来举例。12的倍数从小到大排列是:12,24,36,48,60,72,84,96,108……,18的倍数是:18,36,54,72,90,108,……,12和18公有的倍数有:36,72,108,……,其中最小的公倍数是36,所以36就是12和18的最小公倍数,因为这两个数的倍数个数是无限的,所以它们没有最大的公倍数,平时我们用的比较多的就是求两个数的最小公倍数。

通过上面两个例子可以看出:列举法既是我们引导学生认识理解最大公因数与最小公倍数含义的必需,同时也可以作为求两个数最大公因数和最小公倍数的最原始、最直接的方法。

2.利用分解质因数法来求最大公因数与最小公倍数。虽然短除法在新教材中不再提倡,但不代表我们不可以用它解决问题,并且就算不用短除法一样可以应用分解质因数来求两个数甚至三个数的最大公因数或最小公倍数(教材中还是以求两个数的为主)。

要用分解质因数法来解决这类问题,首先应引导学生通过观察发现最大公因数及最小公倍数与原来两个数的内在联系。我们还是以举例来说明:

(1)最大公因数。45和60的最大公因数是15,我们把这三个数全部分解质因数,得:45=3×3×5,60=2×2×3×5,15=3×5,不难发现:在45和60的质因数中都有3和5,它们的最大公因数的质因数也是3和5。所以我们要求两个数的最大公因数,就可以先把它们分解质因数,再找出这两个数公有的质因数,把这些质因数相乘就可以得到它们的最大公因数了。

如:20和30,20=2×2×5,30=2×3×5,公有的质因数有2和5,所以20和30的最大公因数就是2×5=10。

(2)最小公倍数。求两个数的最小公倍数也可以用分解质因数法,让我们先来看一看:45和60和最小公倍数是180,把它们都分解质因数:

45=3×3×5

60=2×2×3×5

它们公有的质因数是3和5,另外还有一个3是45独有的质因数,还有2和2是60独有的质因数,将它公有的质因数及两个数各自独有的质因数相乘,3×5×3×2×2=180就是45和60的最小公倍数,在数字较大的情况下,用分解质因数法求最小公倍数比之列举法有着更简便的优势。

(3)求最大公因数和最小公倍数中的特殊情况。这里所谓的特殊情况,是指不需要用列举法,或者分解质因数法,而可以直接看出最大公因数与最小公倍数。主要有两种形式:(1)两个数是互质数的关系,如8和9,那么它们的最大公因数就是1,最小公倍数是它俩的乘积:8×9=72。(2)两个数具有倍数的关系。如8和64,在这种情况下,最大公因数就是这两个数中的较小数,而最小公倍数就是其中的较大数。最后再补充一下第(3)种情况,这种情况糅合了前面的两种关系,如1和12,它们即是互质数的关系,同时也具有倍数关系,我们无论用其中的哪一种关系去判断,得出的最大公因数和最小公倍数都是正确的,细心的同学会发现,这种情况中,两个数中必然有一个数是1。

以上就是本人教学分解质因数的一点点体会,其实很多都是来源于教师用书,我只是用自己的语言给叙述了一下。

本文标题:新版教材中如何教学求最大公因数与最小公倍数的内容

本文地址:http://www.ziyo.org/blog/archives/80.html

   
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