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不可缺少的反证法

不可缺少的反证法:从前,有一个既卖矛又卖盾的人。他拿起矛来说:“我的矛十分锐利,什么样的盾都能刺破。”然后,他又拿起盾来说:“我的盾十分坚固,什么样的矛也刺不破。”有人问他:“要是用你的矛来刺你的盾呢?”于是,他陷入矛盾,无法回答。

在数学中,常常利用矛盾来证明一个结论。这种证明的方法,叫做反证法。举一个例子。把自然数的全体1,2,3,……任意地分为两组,一定有一组中有两个数的和是平方数。这就可以用反证法证。

假设上面的结论不成立,那全体自然数能分成这样两组,每一组中任意两个数的和不是平方数。我们把含有1的那一组叫做A组,另一组叫做B组。既然A组中每两个数的和都不是平方数,那3不在A组,因为3+1=4。

同样的道理,8(=9-1)15(=16-1),24(=25-1),……也都不在A组。因为3在B组,所以6(=9-3)在A组。因为15在B组,所以10(=25-15)在A组。可是,6+10=16是平方数,这和A组中任意两个数的和不是平方数矛盾。

这个矛盾说明假设是错的,也就证明了原题的结论成立。

从这个例子可以看出:用反证法来证题,是先假设结论不成立,也就是相反的结论成立;然后设法导出矛盾,得到假设不对,使原来的结论成立。反证法是不可缺少的。这就象进攻一个要塞,在正面攻击难以奏效时,或许从后面突袭是一个好办法。德国数学家希尔伯特说,禁止数学家使用反证法,就象禁止拳击家使用拳头。

本文标题:不可缺少的反证法

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发布:小学数学资优网

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