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伟大的创造——迪卡尔的故事

笛卡儿在数学上的杰出贡献主要是将代数和几何巧妙联结在一起,从而创造了解析几何这门新数学分支。几何——这门从古希腊时代就产生并经过欧几里得总结的学科,它经过两千年来无数个数学家们的不断完善,就像一座雄伟的宫殿高耸在数学王国之中。笛卡儿非常喜欢这座宫殿,在这里的每一个证明题就像一颗颗闪光的珍珠叫人爱不释手。然而笛卡儿发现,人们只能一颗颗地把这些珠子捡起,却很难用线将这些各具特色的珠子都串起来。当时的代数,由于数学家们片面地强调“形式的美和协调性”,因此被法则和公式锁得死死的,人们往往只能在狭隘的领域里徘徊。笛卡儿批评当时的代数是“一种充满混杂与晦暗,故意用来阻碍思想的艺术,而不像一门改进思想的科学。”笛卡儿主张让代数和几何中一切最美好的东西互相取长补短,于是他开始着手寻找一种能让代数和几何联结的新方法。

1619 年在多瑙河畔的军营中,笛卡儿开始用大部分时间来思考他在数学领域里的新想法:是不是可以用代数中的计算过程来代替几何中的证明呢?要想这样做就必须找到一座能连接几何和代数的桥梁——使几何图形数值化,从而能用计算的方法加以解决。在那些日子里,笛卡儿的思维一直处于一种高度的兴奋状态。

奇迹终于出现了,11 月10 日晚上,笛卡儿躺在床上迷迷糊糊地进入了梦乡。他梦见自己用金钥匙打开了欧几里得的数学宫殿的大门,遍地的珍珠光彩夺目。他拿起一根线刚把珠子串了起来,线突然断了,珠子撒了一地。突然,这些珠子都不见了,宫殿里顿时空旷如坪。这时,他看见窗前一只黑色的苍蝇在疾飞着,眼前留下苍蝇飞过的痕迹——一条条的斜线和各种形状的曲线。这些不正是他最近全力研究的直线和曲线吗?笛卡儿呆住了。一会儿苍蝇停住了,在眼前留下一个深深的小黑点⋯⋯笛卡儿从梦中惊醒过来,脑海中还不时浮现出梦中的情景,让他异常兴奋,使他难以入睡。突然,笛卡儿悟出了这其中的奥妙:苍蝇的位置不是可以由窗框两边的距离来确定吗?苍蝇疾飞时留下的痕迹不正是说明直线和曲线都可以由点的运动而产生吗?笛卡儿兴奋极了,一骨碌爬起来,拿笔计算。在他的回忆录中这样写道:“第二天,我开始懂得这一惊人发现的基本原理。”这就是他建立解析几何的重要线索。

笛卡儿用两条互相垂直并且相交于原点的数轴作为基准,将平面上的点的位置确定下来,这就是后来人们所说的笛卡儿坐标系。笛卡儿坐标系的建立,为用代数的方法研究几何而架设了桥梁。它使几何中点(P)的位置,能和有次序的两个实数(x,y)—一对应。坐标系里点的坐标连续不断地变化,在平面上的直线和曲线就可以用方程y=f(x)来表示。

1637 年笛卡儿出版了《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》一书,其中在附录《几何》部分出现了关于坐标几何,也就是现在称为解析几何的内容。虽然在今天看来还是很不完备,然而难能可贵的是他引入了一种新思想,将代数和几何巧妙地结合起来,开始了数学的一次根本性的变革。

从此,常量数学发展到变量数学,微积分也就跟着产生了。解析几何的创立,成为数学发展史中的一个转折点。正如18 世纪的数学家拉格郎日说的那样:“只要代数同几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用领域就不会宽广;但是当这两门科学结成伙伴时,它们就互相吸取新鲜的活力,从那以后就以快速的步伐走向完善。”的确,17 世纪以后,数学的巨大发展在很大程度上应归功于笛卡儿的解析几何。它改变了科学的历史进程,也为笛卡儿赢得了巨大的荣誉。

笛卡儿当初只是企图通过解析几何来给数学引进新的方法,而他的成就却远远超过了他的期望。在当时,欧洲主要资本主义国家的工业和商业已经开始迅速发展起来。解析几何的显著优点,正在于它恰好提供了科学发展所需要的数学工具。当时的测量、航海、历法计算、天文观测、抛物运动研究和透镜设计都需要数量知识,而解析几何的出现,便可使人们把形象的几何图形和运动过程变成代数的形式,用数量的知识加以研究计算,从而使这些知识能更有效地为技术需要服务,推动了生产力和科学的向前发展。

以后,笛卡儿还在书信中传播了他关于解析几何的思想。与笛卡儿同时代的数学家费马,对解析几何的奠基也作出了许多贡献。他对笛卡儿的著作曾提出了许多意见和见解,从而使解析几何这门学科被越来越多的数学家所接受,并逐步完善起来。

本文标题:伟大的创造——迪卡尔的故事

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发布:小学数学资优网

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